Cuando las conclusiones a las que se llega con la razón son flagrantemente contrarias a lo que muestra la experiencia estamos ante una paradoja. Los ejemplos más conocidos son las llamada Paradojas de Zenón. En ellas, de una u otra forma, se demuestra que el movimiento es imposible; conclusión que obviamente choca con el hecho de que el movimiento sÍ ocurre.

A mí la que más me gusta es aquella en que el veloz Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga ni siquiera dándole como ventaja que ella arranque desde un punto ubicado a la mitad del camino hacia la meta. El argumento racional es muy sencillo: Aquiles, para ganar, tiene que rebasar a la tortuga; pero por muy veloz que sea él tiene que llegar primero al punto del que la tortuga arrancó, y como la tortuga ya se habrá movido un poco, Aquiles tiene que volver a alcanzar ese punto donde estaba la tortuga, pero como la tortuga nuevamente ya tendrá que haberse movido otro poco Aquiles tiene que alcanzar ese nuevo punto y así indefinidamente. Por lo tanto, Aquiles nunca alcanza a la tortuga.

Hay, sin embargo, una paradoja matemática que me tiene muy confundido, pues, en este caso, ocurre a la inversa: lo que me muestran los sentidos no corresponde con lo que me dice la razón. La paradoja del círculo inscrito dentro de otro círculo que por evidencia tiene que ser más pequeño para quedar inscrito y, sin embargo, cuando dan un giro completo parecen medir lo mismo.

Trataré de explicarlo (sería más fácil con la ayuda de una servilleta y una pluma y con un café de por medio) sin recurrir a un dibujito. Si al final dudo de mi capacidad comunicativa meteré el dibujito como ilustración de este texto. En este momento, quiero decir en este párrafo, me siento capaz. Ya veremos qué pasa...

Imaginemos una moneda de 10 pesos: como todos sabemos tiene un círculo plateado inscrito en un círculo dorado; el plateado es obviamente más pequeño que el dorado. Ahora imaginemos que la moneda rueda sobre una mesa y que el movimiento es puntual, quiero decir que no se patina. Cuando la moneda da un giro completo (el águila vuelve a estar derecha), el perímetro curvo de la moneda se ha extendido en el plano y ahora sí es más fácil medirlo, pues se trata de una línea recta. Evidentemente se trata de círculos distintos: uno es mayor que el otro. Sin embargo, como estos círculos están pegados, ambos, de hecho, recorren la misma longitud sobre el plano para conseguir el giro completo, o sea que tienen el mismo perímetro...

Lo siento, me rindo, debo recurrir a un dibujito para darme a entender (perdonen mis trazos). En la ilustración (que finalmente tuve que armar: en este párrafo ya no estoy tan seguro de mi capacidad) puede verse que para que el círculo pequeño y el grande vuelvan a estar con el águila derecha, es necesario que uno y otro den un giro de 360 grados, es decir, un giro completo. El círculo pequeño recorre una distancia que va del punto A al punto B y el círculo grande recorre del punto C al punto D, pues bien, aquí es donde se presenta la paradoja, pues ¿cómo es que siendo círculos de diferente tamaño recorran la misma distancia para conseguir un giro completo, pues del punto A al B hay la misma distancia que del punto C al D... ¿Cómo es esto posible?

Si nos imaginamos un cono y desfasamos los círculos (que no estén en el mismo plano) podríamos situar el círculo grande en algún corte transversal del cono y el círculo pequeño en otro momento del cono, más al fondo. Ahí sí se resolvería la paradoja; pero en el espacio bidimensional de los círculos inscritos es una paradoja interesantísima.

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Óscar de la Borbolla

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Escritor y filósofo, es originario de la Ciudad de México, aunque, como dijo el poeta Fargue: ha soñado tanto, ha soñado tanto que ya no es de aquí. Entre sus libros destacan: Las vocales malditas, Filosofía para inconformes, La libertad de ser distinto, El futuro no será de nadie, La rebeldía de pensar, Instrucciones para destruir la realidad, La vida de un muerto, Asalto al infierno, Nada es para tanto y Todo está permitido. Ha sido profesor de Ontología en la FES Acatlán por décadas y, eventualmente, se le puede ver en programas culturales de televisión en los que arma divertidas polémicas. Su frase emblemática es: "Los locos no somos lo morboso, solo somos lo no ortodoxo... Los locos somos otro cosmos."

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